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1789年8月21日柯西出生

民间故事 2020-08-21 19 浏览 0 评论

柯西(Cauchy,Augustin Louis 1789年8月21日-1857年5月23日),出生于巴黎,他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员,在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因,柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派,是一位虔诚的天主教徒。并且在数学领域,有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼,如柯西不等式、柯西积分公式。

个人成就

柯西是一位著名的多产数学家,他的全集从1882年开始出版到1974年才出齐最后一卷,总计28卷。他的主要贡献如下:

单复变函数

柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念,并且用这种积分来研究多种多样的问题,如实定积分的计算,级数与无穷乘积的展开,用含参变量的积分表示微分方程的解等等。

分析基础

柯西在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响。自从牛顿和莱布尼茨发明微积分(即无穷小分析,简称分析)以来,这门学科的理论基础是模糊的。为了进一步发展,必须建立严格的理论。柯西为此首先成功地建立了极限论。

极限论的功能

设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ,使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ时,对应的函数值f(x)都满足不等式:|f(x)-A|<ε

那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。

“严格来说,没有数学证明这种东西,分析到最后,除了指指点点,我们什么也不会干;……证明就是我和李托伍德叫做神吹的那套玩意儿,是编出来打动人心的花言巧语,是上课够在黑板上的图画,是激发学生想象力的手法。”——哈代。

数学太重要了,在中国与语文学有着同样的地位。其原因就在于数学本身就是一种语言,而且是一种世界语言,具有普遍性。所以,严格的区分数学概念的词性,是非常有必要的,不仅是数学本身的要求,也是语言科学的要求。

谈到语言和词性,就要了解部分语文基础知识了。

1、名词:表示人或事物、处所、方位等名称的词。

2、动词:表示动作行为、发展变化、心理活动等意义的词。

微积分从诞生的第一天开始,就没有离开过矛盾和驳论。例如,贝克莱驳论(无穷小驳论)、芝诺悖论等。如果,透过这些争论,可以发现其实他们不过是变相的探讨最终形态的问题!正如莱布尼兹关注微粒最终命运一样。有一些人说:柯西-威尔斯特拉斯的极限定义,有“极限回避”的现象。这种说法是片面的也是不客观的,但还是指出了一些问题(应该说最终形态回避)。

柯西-威尔斯特拉斯的极限定义,被翻译成中国语言的时候,是非常经典的。柯西-威尔斯特拉斯的极限定义,不单纯的定义了极限,还刻画了一种运动现象-向极限(最终形态)靠近的运动。最后画龙点睛,把最终形态a(如果存在,就是说不清怎么来的)叫做极限。

从语法的分析上看,这个说法本质上给了“最终形态”一个称谓(名字)--极限。所以,柯西-威尔斯特拉斯的极限定义中,极限是一个名词,而不是动词。

于是,就把向极限靠近的运动叫做极限现象。许多人在理解柯西-威尔斯特拉斯的极限定义,混淆了极限现象与极限,笼统的把“极限现象”和“极限”都叫做极限。

关于最终形态的研究,我曾在《微积分秘密报告4》中简单的谈过。既然现代函数极限定义并没有解释最终形态(回避了)!那么,函数的极限定义是要说些什么故事呢?有关的数学证明又在证明什么呢?

其实,是在说一件事:有极限(最终形态),必有极限现象;反过来,有极限现象,必有极限存在!简单来说,就是极限现象是极限(最终形态)的充要条件。所以,要证明极限存在(不必去研究怎么来的),只需证明极限现象存在就够了,确实有投机取巧的嫌疑!

就因为如此,所以现代极限的定义不能告诉你极限怎么来的,只能告诉你极限存在(并且可以证明)。极限现象就本质来看是一种运动现象,描述运动现象的理想工具是什么-函数。所以现代的函数(专业)极限定义,有些函数的味道(一一对应,总有ε和δ对应)也就不起怪了。

有一些人也挺离谱的,把极限说成是动词。理由是,极限的本质是:“一个变化的量无限接近一个固定的量。”这是极限现象的精髓,不是极限的。

可是,要描述极限现象。非要柯西-威尔斯特拉斯绕口的模型吗!当然不是,模型是可以改变的,微积分初等化,就改变了这一模型。使一些复杂的数学证明得到了简化,比如极限的唯一性、函数单调性等。

在柯西的著作中,没有通行的语言,他的说法看来也不够确切,从而有时也有错误,例如由于没有建立一致连续和一致收敛概念而产生的错误。可是关于微积分的原理,他的概念主要是正确的,其清晰程度是前所未有的。例如他关于连续函数及其积分的定义是确切的,他首先准确地证明了泰勒公式,他给出了级数收敛的定义和一些判别法。

常微分方程

柯西在分析方面最深刻的贡献在常微分方程领域。他首先证明了方程解的存在和唯一性。在他以前,没有人提出过这种问题。通常认为是柯西提出的三种主要方法,即柯西-利普希茨法,逐渐逼近法和强级数法,实际上以前也散见到用于解的近似计算和估计。柯西的最大贡献就是看到通过计算强级数,可以证明逼近步骤收敛,其极限就是方程的所求解。

弹性力学数学理论

柯西是在力学方面是弹性力学数学理论的奠基人。他在1823年的《弹性体及流体(弹性或非弹性)平衡和运动的研究》一文中,提出(各向同性的)弹性体平衡和运动的一般方程(后来他还把这方程推广到各向异性的情况),给出应力和应变的严格定义,提出它们可分别用六个分量表示。这论文对于流体运动方程同样有意义,它比C.-L.-M.-H.纳维于1821年得到的结果晚,但采用的是连续统的模型,结果也比纳维所得的更普遍。1828年他在此基础上提出的流体方程只比现在通用的纳维-斯托克斯方程(1848)少一个静压力项。

其他

虽然柯西主要研究分析,但在数学中各领域都有贡献。关于用到数学的其他学科,他在天文和光学方面的成果是次要的,可是他却是数理弹性理论的奠基人之一。除以上所述外,他在数学中其他贡献如下:

1、分析方面:在一阶偏微分方程论中行进丁特征线的基本概念;认识到傅立叶变换在解微分方程中的作用等等。

2、几何方面:开创了积分几何,得到了把平面凸曲线的长用它在平面直线上一些正交投影表示出来的公式。

3、代数方面:首先证明了阶数超过了的矩阵有特征值;与比内同时发现两行列式相乘的公式,首先明确提出置换群概念,并得到群论中的一些非平凡的结果;独立发现了所谓“代数要领”,即格拉斯曼的外代数原理。

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