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隙积术是什么

一杯酒 2020-08-21 24 浏览 0 评论

沈括是一位卓越的数学家,他在数学的许多领域内都取得了辉煌的成就,如隙积术和会圆术就是他的两大重要研究成果。

《梦溪笔谈》其卷十八第四条记载的隙积术、会圆术是数学方面的两个成果。

隙积术给出累綦、层坛的体积以及积罂——长方台形垛积的求和公式。沈括说:“算术求积尺之法,如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马之类,物形备矣。”

北宋真宗时,有一年皇宫失火,很多建筑被烧毁,修复工作需要大量土方。当时因城外取土太远,遂采用沈括的方案:

就近在大街取土,将大街挖成巨堑,然后引汴水入堑成河,使运料的船只可以沿河直抵宫门。竣工后,将废料充塞巨堑复为大街。

沈括提出的方案,一举解决了取土、运料、废料处理问题。此外,沈括还有“因粮于敌”、“高超合龙”,“引水补堤”等,也都是使用运筹学思想的例子。

沈括在《梦溪笔谈》中说:算术中求各种几何体积的方法,例如长方棱台、两底面为直角三角形的正柱体、三角锥体、四棱锥等都已具备,唯独没有隙积这种算法。

所谓隙积,大白话的讲就是有空隙的堆垛体,像垒起来的棋子,以及酒店里叠置的酒坛一类的东西。它们的形状虽像覆斗,4个测面也都是斜的,但由于内部有内隙之处,如果用长方棱台方法来计算,得出的结果往往比实际为少。

沈括所言把隙积与体积之间的关系讲得一清二楚。同样是求积,但“隙积”是内部有空隙的,像垒棋,层层堆积坛罐一样。

沈括是用什么方法求得这一正确公式的,《梦溪笔谈》没有详细说明。

现有多种猜测,有人认为是对不同长、宽、高的垛积进行多次实验,用归纳方法得出的;还有人认为可能是用“损广补狭”办法,割补几何体得出的。

沈括所创造的将级数与体积比类,从而求和的方法,为后人研究级数求和问题提供了一条思路。首先是南宋末年的数学家杨辉在这条思路中获得了成就,创造了垛积术公式。

垛积,即堆垛求积的意思。由于许多堆垛现象呈高阶等差数列,因此垛积术在我国古代数学中就成了专门研究高阶等差数列求和的方法。

杨辉在《详解九章算术算法》和《算法通变本末》中,丰富和发展了沈括的隙积术成果,还提出了新的垛积公式。

沈括、杨辉等所讨论的级数与一般等差级数不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差相等。对这类高阶等差级数的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”。

元代数学家朱世杰在其所著的《四元玉鉴》一书中,把沈括、杨辉在高阶等差级数求和方面的工作向前推进了一步,并得到一系列重要的高阶等差级数求和公式,这是元代数学的又一项突出成就。他还研究了更复杂的垛积公式及其在各种问题中的实际应用。

对于一般等差数列和等比数列,我国古代很早就有了初步的研究成果。总结和归纳出这些公式并不是一件轻而易举的事情,是有相当难度的。上述沈括、杨辉、朱世杰等人的研究工作,为此作出了突出的贡献。

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